微中子是超光速的 Tachyon 嗎？

我在「超光速粒子　即使證實　也難以撼動相對論」一文談了相對論可以允許超光速粒子（Tachyon）的存在，不過如果要不破壞因果律的話，需要其他新理論出現。

複習一下，相對論允許的 Tachyon，速率超過光速，質量是虛數。請不要立刻對這聽起來荒謬至極的東西嗤之以鼻，科學允許大膽假設，只是要非常小心地求證。

那麼，微中子有沒有可能是 Tachyon？有關微中子的飛行速率和質量的測量，我十幾年來斷斷續續有些關注，來簡單介紹一下目前我所了解的進展（懶人看結論）。

微中子速率測量

9/23 上報的 OPERA 實驗不是第一個測量微中子飛行速率的實驗，位於美國芝加哥近郊的費米實驗室，就把微中子射去明尼蘇達州 Soudan 廢礦坑的 MINOS 偵測器測量過，MINOS 的實驗物理學家在 2007 年發表了結果 [1]：
$$ {v - c \over c} = (5.1 \pm 2.9)\times 10^{-5} $$這個結果說微中子速率比光速快十萬分之 5.1，然而實驗精度不夠，1.8 個標準差的統計顯著性不足，只能算是微中子速率大於光速的初步跡象。

知道前人的誤差太大，OPERA 實驗的物理學家花了很大的功夫降低各種系統誤差。大家都知道，速率 = 飛行距離 / 飛行時間，如果要把速率誤差壓到 \(10^{-5}\)（十萬分之一），距離和時間都要準到 \(10^{-5}\) 以下。

• 距離：在瑞士日內瓦的 CERN 是起點，義大利 Gran Sasso 山腳 LNGS 實驗室地下 OPERA 所在的 C 實驗廳是終點，直線距離（不是地表上的最短距離）約 730 公里，測距要準到公尺等級。
• 時間：730 公里的光速飛行時間是 2.4 ms，測時要準到 24 ns 以下。

CERN 和 LNGS（Gran Sasso 國家實驗室）的地理位置示意圖。
（CERN 和 LNGS logo 為相關單位擁有，圖是用 Google Earth 作的。）

測距方面，OPERA 宣稱達到 20 cm，細節在 OPERA Note 132 裡。 [2]

測時方面，OPERA 的實驗複雜而精密，以下是 OPERA 在論文中列出來的系統誤差來源和大小：[3]

OPERA 一舉把系統誤差降到 7.4 ns！有興趣的人可以讀他們的論文，看是否能挑出什麼錯誤，挑出錯可是全球囑目的貢獻啊！

其中也許最多人有疑問的，是 CNGS-OPERA GPS synchronisation 這一項，相隔 730 公里的兩個 GPS 接收器，雖然用上 GPS common view 的技術 [4]，論文裡的說法是用同一顆 GPS 衛星打到兩地的訊號時間差來校正兩地的時鐘，但是 GPS 衛星的訊號要穿過電離層和大氣才能到達地表，兩地的大氣狀況也未必相同，對於訊號到達地面所需時間有多清楚的了解？兩地的對時是否真的能達到 1.7 ns 的精度？這方面我不是專家，希望有專家可以指點一下。

他們用蒙地卡羅法算出某些元件的時間延遲量，我也有點疑問，這裡限於篇幅不多談。

總之，OPERA 這次發表的結果是$$ {v-c\over c} = (2.48 \pm 0.28 (stat.) \pm0.30 (sys.)) \times 10^{-5}$$粒子物理實驗的慣例是 5 個標準差以上可以宣布「發現」(discovery)，OPERA 達到 6 個標準差。不過 OPERA 的物理學家們顯然也不敢太過樂觀，畢竟他們宣稱的精準度實在太高、對物理的潛在衝擊太大，需要獨立實驗來驗證。


講了兩個微中子速率的測量實驗，如果你不熟悉粒子物理，可能不知道「飛行速率」一向不是粒子物理學家關心的問題。要了解一種粒子，重要的是質量、自旋、半衰期、衰變管道等等「內秉」的物理性質，因此會設計實驗來測量。MINOS 和 OPERA 都是為了測量微中子振盪這個內秉性質而建造的偵測器，但也為了測量速率這個非內秉性質花了巨大的力量，微中子為何這麼特殊？

事實上，「微中子飛得比光快」的假說，早在 1985 年 Chodos, Hauser 和 Kostelecky 就已經提出了 [5]。原因不是別的，正是微中子的質量測量。不過我先賣個小關子，先不講這 \( 10^{-15} \) 公尺以下的微觀世界，而來聊聊天文這個 \( 10^{21}\) 公尺以上的巨觀世界。

天外飛來微中子

1987 年發生了一件天文大事：SN1987A 超新星爆炸。SN1987A 位於離地球約 17 萬光年的大麥哲倫星雲，聽說當年靠這顆超新星畢業了不少博士。 :)

SN1987A 照片，取材自 Wikipedia 的 SN 1987A 條目。

由南半球各天文台發現的 SN1987A，不只帶來絢麗的光學景象，還帶來了不少從天上掉下來的禮物。

當時深埋在 日本 神岡宇宙素粒子研究施設地下、盛著重達 2149 噸水的 Kamiokande II 偵測器，平常門可羅雀，守株待兔等著稀稀落落的訊號（平均每秒 0.6 個），主要是來自太陽微中子和宇宙射線造成的大氣微中子。但是在格林威治時間 1987 年 2 月 23 日 7 點 35 分 35 秒，在 2 秒內看到 9 個微中子訊號 [6]。引用論文中的話來說，如果這些微中子訊號完全是已知的來源產生的，Kamiokande II 十萬年還看不到一次這種現象。就像三分球命中率不到一成的我，投 100 球，中間忽然連續灌進 12 球，你很難相信是我投的吧？百分之 99.9999... 有槍手！

Kamiokande II 偵測器升級後的 Super-Kamiokande 照片，原圖在 Super-K 的相簿裡。
在碧潭划船沒什麼，在微中子偵測器裡面划船才稀奇。

Kamiokande II 論文中的微中子訊號時序圖，看到那一連串的密集微中子訊號了嗎？

Kamiokande II 偵測微中子的原理是偵測兩種弱作用反應產生的電子或反電子：$$\begin{eqnarray}\nu \;\; e \to \nu\;\; e \label{(1)} \\ \bar{\nu_e}\;\; p \to e^+\;\; n\end{eqnarray}$$ 第一種我叫它「打撞球反應」，飛進來的微中子 \(\nu\) 撞飛水分子裡的某個電子，電子飛出去的方向會大致沿著入射微中子的方向，電子能量 10 MeV 時均方夾角是 28 度，能量越高均方夾角越小。第二種我叫它「吃西瓜吐子反應」，極重的質子吃進一顆微中子，嚼一嚼，再吐一顆電子出去，同時變身為中子。吐子的方向和吃進微中子方向無關，各個方向機率幾乎相同。

這些造成 Kamiokande II 門庭若市的微中子客人們，產生的電子角度和能量的分佈如下圖。

微中子和 Kamiokande II 偵測器反應產生的電子，其能量和飛行方向的 scatter plot。

在這個圖裡看到一個均勻分佈加上一個在 SN1987A 方向附近的尖峰，提供了證據支持這些微中子是從 SN1987A 來的。這是人類第一次看到來自超新星爆炸過程的微中子！Kamiokande 的主持人小柴昌俊 (Masatoshi Koshiba) 因為在微中子天文學上的貢獻榮獲 2002 年諾貝爾物理學獎。

有信心這些微中子是從 SN1987A 來的了？問題是，它們比 SN1987A 超新星爆炸的光早三個小時到達地球。

微中子飛得比光快？！

別太激動！其實超新星爆炸的理論本來就認為，在爆炸過程中微中子會比光子早發射出來，超光速微中子的說法在當時沒有太多人當真。我師公諾貝爾物理學獎得主 Jerome Friedman 之前來台灣訪問時，我和他在陽明山上也聊了這個題目，他並不相信微中子會超光速。

SN1987A 的數據為微中子速率設下了一個嚴苛的限制。光要花 17 萬年飛來地球，微中子早 3 小時到，但應該比光子早出發，速率差最多是 \(2\times 10^{-9}\)，也就是十億分之二。

好，關子賣完了，回來微觀世界，重頭戲是微中子的質量。

微中子幾斤重？好吃嗎？

斯斯有兩種，微中子有三種。物理學名詞是 flavor，不過我不想說微中子有三種口味...

這三種型態分別是電子微中子（electron neutrino \(\nu_e\)）、緲子微中子（muon neutrino \(\nu_\mu\)）和 Tau 微中子（tau neutrino \(\nu_\tau\)），在弱作用下，電子微中子會產生電子或由電子產生，緲子微中子會產生緲子或由緲子產生，Tau 微中子會產生 Tau 輕子或由 Tau 輕子產生。Tau 微中子在這集沒通告，可以先不理它。

人類設計實驗測量電子微中子質量四、五十年了，隨著實驗儀器和實驗方法的進步，能量到的質量越來越小，但還是量不出個定論，看來是極小，因此粒子物理理論長期以來都假設微中子質量為零，理論又簡單又漂亮。

不過微中子質量為零的假設在 1998 年開始垮台，因為 Super-Kamiokande 實驗和其他實驗觀測到了微中子振盪，也就是微中子會從一種型態變成另一種型態，像變形金鋼那樣（啊我耍冷了）。依目前的粒子物理理論，微中子質量如果等於零是無法有這種行為的，因此「微中子質量不為零」的論點算是堅實地立足了 [7]。

微中子振盪只需要不為零的質量，但是無法告訴人們質量是多少。目前直接測量電子微中子質量的結果是質量小於 2 eV/\(c^2\)。2 eV/\(c^2\) 是什麼樣的質量？國中化學教過，1 莫耳的碳-12 是 12 克，1 莫耳的電子約 0.55 毫克，2 eV/\(c^2\) 相當於要 4.7 億莫耳才 1 克。

要講微中子質量測量，不免要講古一下當年微中子是怎麼發現的。可以先喝口茶，慢慢看。

人類第一次意識到微中子的存在，是 Pauli 的貢獻。1920 年代末，當時實驗看到氮和鋰原子核的 beta 衰變出來的電子，能量時多時少，計算下去，能量、動量、角動量這三個古典力學的守恒量通通不守恒，這可嚴重了！為此，大名鼎鼎的物理學家波耳（Bohr）還曾提出「能量守恒在原子核這種微觀世界不成立」的假說。

對於堅信宇宙的運行法則是簡單而美麗的 Pauli 來說，守恒律有大小眼是「無法吞下去」的說法。為了滿足守恒律，他在 1930 年提出「beta 衰變會產生一個沒測量到的電中性、質量小、自旋 1/2 的粒子」的假說。很少發表論文的 Pauli，這次又是把假說寫在信中，請同事帶去 Tübingen 交給在那裡聚會的核子物理學家們。

Pauli 1930 年的信的開頭，這是 1956 年重新打字的版本。

MicroBooNE 實驗的網站有這封短信的全文和英譯，有興趣可以一讀。話說 Pauli 不親自出席的藉口竟然是「蘇黎士這邊有個舞會少不了我」，這... 只好讚一個了！   XD

微中子後來在 1956 年發現，也有些故事，有機會再聊。

微中子這種難以捉摸的粒子，不參與電磁作用，強核力也動不到它，只有微弱的重力和弱核力能影響它，在實驗室中，絕大部分的微中子都是產生出來就直接飛離實驗室、穿過地球、甚至飛出太陽系，只有極少數能和實驗室裡的偵測器發生反應而被看到。根據 Kamiokande II 的論文估計，SN1987A 炸出來的微中子飛抵地球時每平分公分有一百億顆。

台灣時間 1987 年 2 月 23 日午后 3 點 35 分半，你在哪裡？在做什麼？那十幾秒鐘有上兆顆微中子穿過你的身體，你感受到超新星傳來的心意了嗎？   ;-)

抓不到、裝不起來、無法用秤去秤的微中子，要如何測量它的質量？

專門整理基本粒子性質的 Particle Data Group 在 2011 年版的【粒子性質表】中，有一篇專門講微中子的報告，其中講到，電子微中子質量的測量，目前以氚的 beta 衰變為主要方法。 $$^3\mbox{H}\;\; \to\;\; ^3\mbox{He}^+ \; e^-\; \bar\nu_e$$（氚 → 氦３ + 電子 + 電子反微中子）
和 1920 年代的 beta 衰變實驗一樣，衰變產生的微中子是量不到的，只量得到電子，而微中子的靜止質量 \(m_0\) 是透過愛因斯坦相對論的方程式從維持守恒律所需的能量 E 和動量 p 去求出的： $$ m_0^2 c^4 = E^2 - p^2 c^2$$ 因此只能得到靜止質量的平方。又因為氚衰變成氦３的終態有好幾種，能量釋放各不相同，需要把各個終態發生的機率和能量分佈疊加後，去配適數據（fit data）。 能進行 beta 衰變的核種很多，會選氚就是因為它只有三顆核子，是會 beta 衰變中結構最簡單的，各終態的機率和能譜可以很準確地計算出來。

用氚衰變測量微中子質量的實驗，在 1980 年就由美國 Los Alamos 國家實驗室的 Thomas Bowles 和 Hamish Robertson 開始了 [8]，之後有許多組實驗物理學家不斷改良實驗、提高精度。目前 Particle Data Group 採用的數據是 Kraus 05 [9] 和 Lobashev 99 [10] 這兩篇論文的結果。

下圖是從 Kraus 05 這篇論文截出來的，橫軸是輸入配適實驗數據的 \( m_0^2 \)，縱軸是配適出來的卡方（chi-square \(\chi^2\)），每條線是一次實驗的結果。每次實驗有些微小差異（比方說真空腔烤完後腔壁狀況很難和前次一模一樣），結果也隨之有些微的不同。把所有實驗數據合起來的結果就是最上面的中空圓那條線。

配適的程序會找出卡方最小的 \(m_0^2\) 當作測量結果的中心值，Particle Data Group 把 Lobashev 99 和 Kraus 05 兩組實驗數據彙總，結果是$$m_\nu^2 = (-1.1 \pm 2.4)\,\mbox{eV}^2/c^4$$質量平方是負的？！看過上一篇文章的人，腦中有沒有「噹」一聲？

事實上，從 1970 年代開始，在 \(\pi\) 介子衰變實驗中量到的緲子微中子質量平方就是負的 [11]，而 1980 年代開始的氦３實驗量到的電子微中子質量平方的中心值，也一直很接近零或是負的。

這就是 MINOS 實驗的物理學家當初要測量微中子速率的動機之一：如果微中子質量是虛數，根據相對論，它的速率應該超過光速。

有質量和速率兩個證據了，微中子真的是 Tachyon？

別急著下結論...

目前這還沒定論，原因如下。

質量還量得不夠準

以目前的測量值 \(m_\nu^2 = (-1.1 \pm 2.4)\, \mbox{eV}^2/c^4 \) 來看，微中子質量的平方雖然中心值是負的，但是值為正的機會大約是 1/3，並不很小，要等待精度更高的實驗來解答。

跑太快

SN1987A 為微中子的速率設下的上限是比光速快 \(2 \times 10^{-9}\)，OPERA 量到 \( 2.48 \times 10^{-5}\)，遠大於這個速限。這個矛盾要如何解決？如果微中子速率真的如 OPERA 所量，SN1987A 的微中子要提早 4.21 年到達，而 Kamiokande II 測到的是另一個在 SN1987A 方向附近的超新星來的微中子，它的光子還沒飛到地球，也就是距離在 56 96 萬光年以外。雖然不無可能，但似乎太過巧合了一點。

而且微中子會變型... 出生時是一種微中子，飛著飛著，有一定機率會變成別種型態的微中子（也就是微中子振盪），要解釋質量和速率的測量結果變得有點複雜。

總之...

微中子拯救過守恒律、它的質量平方傾向為負、從超新星飛來時先光子抵達地球、還會變型，不斷有話題，刺激物理學家思考或修改物理理論、設計一代又一代的新實驗來了解它，可以說是最有意思的一類基本粒子。

這次 OPERA 觀測到的超光速結果達到 6 個標準差，但它的實驗和分析過程是否經得起檢驗？其他實驗能否獨立確認？靜待...

最後，要讚揚一下 OPERA 的實驗物理學家們。一般論文會在簡介或摘要裡 吹捧 說明自己的結果在相關領域的影響，這篇論文完全走相反路線，只記載實驗設計、微中子飛行時間和距離的測量與校正、數據樣本與分析、和得到的結果，結尾時還說他們有意不提對物理的衝擊，靜待更多實驗結果的出現來反駁或支持他們。在 CERN 的演講也極力保持這種低調務實的作風，甚至在問答時間，主持人還明講「不討論對結果的理論解釋，只准針對實驗發問。」令人激賞！

還要謝謝好友 Yuan Chao 9/23 當天就報了 CERN webcast 網址給我，讓我可以即時收看 OPERA 的演講。

（11/22 編輯：訂正 56 萬光年為 96 萬光年，某人竟然能算出 2011 - 1987 = 14！撞牆。）

參考文獻：
[1] P. Adamson et al. (The MINOS Collaboration), "Measurement of neutrino velocity with the MINOS detectors and NuMI neutrino beam", Phys. Rev. D 76, 072005 (2007). [arxiv.org 上的 preprint PDF 檔]

[2] Gabriele Colosimo et. al., "Determination of the CNGS Global Geodesy", Opera Note 132 (2011).

[3] T. Adam, et. al. (The OPERA Collaboraton), "Measurement of the neutrino velocity with the OPERA detector in the CNGS beam", arXiv:1109.4897v1 [hep-ex].

[4] D. Allan and M. A. Weiss, "Accurate time and frequency transfer during common-view of a GPS satellite", Proc. 34th Ann. Freq. Control Symposium, USAERADCOM, Ft. Monmouth, WJ 07703, May 1980.

[5] Chodos, Hauser, Kostelecký, "The neutrino as a tachyon", Phys. Lett. B 150, 431-435 (1985).

[6] Hirata et. al. (The Kamiokande II Collaboration), "Observation of a neutrino burst from the supernova SN1987A", Phys. Rev. Lett. 58, 1490–1493 (1987).

[7] K. Nakamura et al. (Particle Data Group), "INTRODUCTION TO THE NEUTRINO PROPERTIES LISTINGS," JPG 37, 075021 (2010) (URL: http://pdg.lbl.gov/).

[8] Thomas J. Bowles and R. G. Hamish Robertson as told to David Kestenbau, "Tritium Beta Decay and the Search for Neutrino Mass", Los Alamos Science, Number 25, p.6 (1997).

[9] Kraus et. al. "Final Results from phase II of the Mainz Neutrino Mass Search in Tritium β Decay", Eur. Phys. J. C40, 447 (2005).

[10] Lobashev et. al. "Direct search for mass of neutrino and anomaly in the tritium beta-spectrum", Phys. Lett. B460, 227 (1999).

[11] Backenstoss et. al., "\(\pi^-\) Mass and Vacuum Polarization. A Re-evaluation", Phys. Lett. B43, 539 (1973).

[12] 物理名詞已儘量採用國家教育研究院學術名詞資訊網的譯名。